Binomialverteilung und Gauß'sche Normalverteilung

1. Mit den roten Schiebereglern kannst Du die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X darstellen, die B_n;pverteilt ist. Verändere die Werte für n und p und beobachte, wie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert.
   Da die Balken die Breite 1 haben, gibt die Fläche eines Balkens bei x_i übrigens direkt die Wahrscheinlichkeit P(X=x_i) an.
   
2. Die blau dargestellte Funktion mit dem Hochpunkt bei ungefähr (0|0,4) heißt Gauß'sche Normalverteilung . Mit dem einen blau gezeichneten Schieberegler lässt sich der Graph um H nach rechts verschieben. Mit dem zweiten Schieberegler wird die Funktion gleichzeitig mit dem Streckfaktor S in Richtung der x-Achse und dem Streckfaktor 1/S in Richtung der y-Achse gestreckt. Wie lautet die Funktionsgleichung der verschobenen und gestreckten Funktion, wenn die Gleichung der Gauß-Funktion phi(x)= ist?
3. Wähle jetzt n = 20 und p= 0,5. Verschiebe und strecke die Normalverteilung so, dass sie möglichst gut zur Binomialverteilung "passt". Vergleiche dann den Streckfaktor S und die Verschiebung H mit dem Erwartungswert und der Varianz der zugrundeliegenden Binomialverteilung. Schreibe Deine Vermutung auf. Überprüfe die Vermutung für weitere Werte für n und p.
    
4. Mit der Fläche unter der "angepassten" Normalverteilung in einem bestimmten Intervall lässt sich dann näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(a<=X<=b) der Binomialverteilung berechnen, wobei der exakte Wert im obigen Diagramm ja anschaulich als Gesamtfläche der Balken für x_i mit a<=x_i<=b dargestellt wird.
   Du kannst die Punkte A und B auf der x-Achse verschieben, um ein Intervall vorzugeben. Das bestimmte Integral der Funktion in diesem Intervall wird im Geogebra-Fenster als blaue Fläche angezeigt! Stelle die Schieberegler entsprechend ein und fülle die Tabelle aus. Übertrage sie ins Heft.
   Hinweis zum ersten Tabelleneintrag: Wenn man für die Koordinaten der Punkt A und B genau (20|0) und (28|0) wählt, ist die Fläche unter der Kurve zu klein. Warum?
   
   

   n	p	a	b	Näherung für P(a<=X<=b)
   50	0,5	20	28
   50	0,5	25	30
   50	0,4	14	18
   100	0,3	26	34
   100	0,3	35	40

   
   
5. Hausaufgabe: Vergleiche die erhaltenen Näherungswerte mit den exakten Werten, die Du mit Hilfe der Tabellen für die Binomialsummenfunktion erhältst.

Erstellt mit GeoGebra von H. Kociemba