Ingo Bartling - Ebenen

Vorwissen

Bevor es richtig losgeht noch eine kurze Erinnernung an ein paar wichtige Punkte.

Es kann nicht mit Punkten sondern nur mit deren Ortsvektoren gerechnet werden.
Ortsvektoren sind die Pfeile, die vom Ursprung bis zum jeweiligen Punkt gehen.
Ein Punkt und sein Ortsvektor haben die gleichen Koordinaten.
P(2|0|4) und
Der Orstvektor hat den gleichen Namen wie sein Zielpunkt nur klein geschrieben.
Der Vektor vom Punkt A nach B wird durch berechnet.
Zwei Vektoren heißen linear abhängig, wenn es eine reelle Zahl k gibt, so dass gilt:
Parametergleichung:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet sich wie folgt:

Dabei hat das Skalarprodukt den Wert 0, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Der Betrag (Länge) eines Vektors ist

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Schnitte Gerade-Ebenen

Gegeben ist eine Ebene E in Parameterform. Wo schneidet diese Ebene die Koordinatenachsen?

Löse nacheinander die linearen Gleichungssysteme:

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Berechne die Lage der Geraden g zur Ebene E und ggf. den Durchstoßpunkt S!

Berechne die Lage der Geraden zur Ebene und ggf. den Durchstoßpunkt S!

Die Aufgabe vereinfacht sich extrem, wenn die Ebene nicht in Parameterform, sondern in Koordinatenform gegeben ist. Dann lässt sich nämlich aus der Geradengleichung zeilenweise ein Ausdruck für x₁,x₂,x₃ entnehmen und in E einsetzen. Man erhält nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten. Je nach Anzahl der Lösungen hat man dann den Fall "liegt in" (unendlich viele Lösungen), "durchstößt in" (genau eine Lösung) oder "verläuft echt parallel" (keine Lösung).

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Beispiele

Überprüfe die Lage der Geraden g und Ebene E

und

Lösung

1. Schritt

Beim Rechnen ohne Determinanten würde man die beiden gegebenen Gleichungen gleichsetzen und je nach Anzahl der Lösungen entscheiden, welcher Fall vorliegt. Bei unendlich vielen Lösungen ist g in E, bei 1 Lösung schneidet g die Ebene E, bei keiner Lösung verläuft die Gerade g parallel zu E.

Beim Rechnen mit Determinanten beginnt man zunächst genauso:

Um die Cramerscher Regel anwenden zu können, wird das Minuszeichen vor t in den Vektor rein gezogen und man erhält:

Dieses lineare Gleichungssystem entspricht

Damit ist zunächst die Determinante zu bestimmen. Ist diese ungleich Null, so sind die drei Vektoren linear unabhängig.

Die Determinante ist ungleich Null, damit scheidet g die Ebene E.

2. Schritt

Nun ist der Schnittpunkt zu bestimmen. Dieser berechnet sich wie folgt (Cramersche Regel):

Da der Vektor der Richtungsvektor der Geraden ist (mal (-1)), wird dieser auch in der Determinante durch ersetzt werden. Denn es genügt ja zu wissen, um wie viel man von B (Stützpunkt der Geraden) zu laufen hat, um den Schnittpunkt zu erreichen.