Bruchrechnung - Gleichwertige Brüche

zahlenstrahl


Manchmal kann es sein, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern dennoch den gleichen Wert am Zahlenstrahl markieren. Solche Brüche nennt man gleichwertige Brüche. Sie beschreiben die gleiche Menge Kuchen. So sind im obigen Beispiel folgende Brüche gleichwertig:
		        2   4   8
		1.) 1 = - = - = - ...
		        2   4   8
		        
		    1   2   4
		2.) - = - = - ...
		    2   4   8
		    
		    3   6
		3.) - = - ...
		    4   8        
		
Selbst mit der Zahl 0 funktioniert dies:
		    0   0   0   0
		0 = - = - = - = - ...
		    1   2   4   8
		
Die drei Punkte ... sollen andeuten, dass es unendlich viele gleichwertige Brüche zu jeder Stelle am Zahlenstrahl gibt, da sich jedes Kuchenstück z.B. wieder teilen lässt.


Aufgaben zu gleichwertigen Brüche

Wähle alle zum Bruch-------gleichwertigen Brüche aus:
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Bruchrechnung - Erweitern und Kürzen

Um zu einem gegebenen Bruch einen gleichwertigen Bruch zu erhalten, gibt es zwei Möglichkeiten: Erweitern und Kürzen. Zunächst zum Erweitern. Nimmt man eine halben Kuchen und halbiert diesen nochmals, so hat sich die Gesamtmenge nicht gändert, wohl aber der zughörige Bruch:
		1   2            1   3
		- = -   analog   - = -
		2   4            3   9
		
Aus einem halben Stück Kuchen habe ich 2 Viertel gemacht. Drittele ich jedes Viertel nochmals, so erhalte ich
3/4  6/12  2/3

Schaut man sich eine Reihe von gleichwertigen Brüchen an, so kommt man zu folgender Definition:

Definition: Erweitern

Man erhält zu einem gegebene Bruch a/b einen gleichwertigen Bruch, in dem man den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert:
		1   2    6   30
		- = - = -- = -- 
		2   4   12   60
		
Im ersten Schritt wurden Zähler und Nenner mit 2 multipliziert, d.h. der Bruch wurde um 2 erweitert. Anschließend wurde 2/4 mit 3 6/12 erweitert und abschließend mit 5 30/60.


Selbstverständlich kann man das gleiche auch rückwärts machen, da ein zu 60/120 gleichwertiger Bruch 1/2 ist. In diesem Fall wurden Zähler und Nenner durch 60 dividiert und man erhält den Bruch 1/2. Somit gilt:

Definition: Kürzen

Man erhält zu einem gegebene Bruch a/b einen gleichwertigen Bruch, in dem man den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl dividiert.


Aufgaben zum Erweitern, Kürzen und vollständigen Kürzem

Gib jeweils den erweiterten oder gekürzten Bruch an!

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In den meisten Aufgaben wird verlangt, dass vollständig gekürzt wird. Das bedeutet, dass man den gleichwertigen Bruch bestimmt, der den kleinsten Zähler und Nenner hat.
Gib jeweils den vollständig gekürzten Bruch an!

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