Einleitung

1. Binomische Formel

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Wird ein bestehendes Quadrat mit der Seitenlänge a an jeder Seite um die Strecke b verlängert, so entsteht ein neues Quadrat mit der neuen Seitenlänge (a+b)(a+b) = (a + b)2. Versucht man den Flächeninhalt dieses neuen Quadrats zu berechnen, so lassen sich vier Rechtecke mit folgenden Flächeninhalten erkennen: a⋅a = a2 , a⋅b , a⋅b und b⋅b = b2. Für den Gesamtflächeninhalt des neuen Quadrats mit der Seitenlänge (a+b) addiert man nun diese vier Teilrechtecke:
a2 + a⋅b + a⋅b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2


2. Binomische Formel
  
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Wird ein bestehendes Quadrat mit der Seitenlänge a an jeder Seite um die Strecke b verkürzt, so entsteht ein neues Quadrat mit der neuen Seitenlänge (a-b)(a-b) = (a + b)2. Versucht man den Flächeninhalt dieses neuen Quadrats zu berechnen, so lassen sich zunächst 3 Rechtecke mit folgenden Flächeninhalten erkennen: a⋅a = a2 , a⋅b und a⋅b. F¨r den Gesamtflächeninhalt des neuen Quadrats mit der Seitenlänge (a-b) subtrahiert man nun diese drei Teilrechtecke:
a2 - a⋅b - a⋅b = a2 - 2ab.
Da aber die beiden abgezogenen Rechtecke sich in Form eine Quadrats überlagern, muss dieses Quadrat wieder addiert werden, sonst würde man zuviel subtrahieren. Die Größe des zu addierenden Quadrats ist b2. Somit folgt die 2. Binomische Formel: a2 - a⋅b - a⋅b + b2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2


3. Binomische Formel

a2-b2 = (a+b)(a-b)

Wird ein bestehendes Quadrat mit der Seitenlänge a an zwei Seite um die Strecke b verkürzt, so entsteht eine L-förmige Figur mit dem Flächeninhalt a2-b2 und ein kleines Quadrat mit dem Flächeninhalt b2. Schneidet man das L-förmige Stück diagonal auseinander und dreht eine Seite um, so entsteht ein Rechteck mit den Seiten (a+b) und (a-b). Es hat somit den Flächeninhalt (a+b)(a-b). Sie ist flächengleich zu der ursprünglichen L-Figur mit dem Flächeninhalt a2-b2.




Aufgaben zu Binomischen Formeln

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