AB 2: Überlagerung zweier Sinusschwingungen

INFO: In der Musik ermöglicht uns die Überlagerung von Sinusschwingungen, einzelne Töne als Klänge wahrzunehmen.

HBSP 2: In diesem Hörbeispiele hörst du die folgenden drei Sinustöne

a mit der Frequenz f1 = 220 Hz
a1 mit der Frequenz f2 = 440 Hz
e2 mit der Frequenz f3 = 660 Hz

und ihre Überlagerung zu einem natürlichen Ton mit der Grundfrequenz f1 = 220 Hz.


Die folgende Konstruktion zeigt die Graphen zweier Sinusschwingungen (blau bzw. grün). Die rote Kurve entspricht der Überlagerung der beiden Einzelschwingungen.

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Versuche nun herauszufinden, wie die Überlagerungskurve aus den beiden Sinusschwingungen entsteht. Experimentiere dazu mit den  Parametern der beiden strichlierten Sinuskurven und beobachte, wie sich die Form rote Kurve ändert. Stelle zu den folgenden Fragen Vermutungen auf und notiere diese in deinem Heft.

  1. Wie könnte die Amplitude a der resultierenden Schwingung bei der Überlagerung der beiden vorgegebenen Einzelschwingungen entstehen?

    Setze dazu f1 = f2 und verändere die Amplituden a1 und a2 der blauen und grünen Sinusschwingung. Beobachte dabei die rote Schwingung. Versuche auch, den Zusammenhang zwischen den Amplitudenwerten a1, a2 und a mathematisch zu formulieren.
     

  2. Experimentiere mit den Frequenzen f1 und f2 der beiden strichlierten Sinuskurven. Welche Auswirkungen hat dies auf die rote Überlagerungskurve?
     

  3. Versuche, mit Hilfe der Frequenzen f1 und f2 etwas über die Frequenz f und somit über die Periodenlänge T = 1 / f der roten Kurve herauszufinden. Betrachte hier vor allem den Spezialfall, dass f1 = n f2 gilt, wobei n eine natürliche Zahl ist. 

    Welcher Zusammenhang könnte zwischen den drei Frequenzen bestehen? Versuche wieder, deine Vermutung auch mathematisch zu formulieren.

    INFO: Gilt für die Frequenzen f1 und f2 zweier Sinusschwingungen f1 = n f2, wobei n eine natürliche Zahl ist, so spricht man bei ihrer Überlagerungsschwingung von einer "Harmonischen Schwingung". Derartige Schwingungen treten in der Musik sehr häufig bei Tönen bzw. Klängen und deren Kombination in Akkorden auf. Sie werden durch schwingende Saiten (z. B.: Gitarre) und Luftsäulen (z. B.: Orgelpfeife) erzeugt.

    HBSP 3: In diesem Hörbeispiel hörst du die ersten vier Teilschwingungen einer Harmonischen Schwingung mit der Grundfrequenz f1 = 220 Hz und ihre Überlagerung zu einem natürlichen Ton (z. B.: Ton einer Orgelpfeife). Die Teilschwingungen besitzen dabei folgende Frequenzen:

    1. Teilschwingung: f1 = 220 Hz
    2. Teilschwingung: f2 = 2 f1 Hz
    3. Teilschwingung: f3 = 3 f1 Hz
    4. Teilschwingung: f4 = 4 f1 Hz


    HBSP 4: In diesem Hörbeispiel hörst du die ersten vier Teilschwingungen einer unharmonischen Schwingung mit der Grundfrequenz f1 = 200 Hz und ihre Überlagerung zu einem natürlichen Ton (z. B.: schwingender Metallstab). Die Teilschwingungen besitzen dabei folgende Frequenzen:

    1. Teilschwingung: f1 = 200 Hz
    2. Teilschwingung: f2 = 2.756 f1 Hz
    3. Teilschwingung: f3 = 5.404 f1 Hz
    4. Teilschwingung: f4 = 8.933 f1 Hz
  4. Wie wirkt sich eine Veränderung der Nullphasenwinkel φ01 und φ02 der beiden strichlierten Sinusschwingungen auf die rote Überlagerungskurve aus?

 

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Judith Preiner, 8.4.2005, Erstellt mit GeoGebra