Kurvendiskussionen - Praktische Anwendungen

  1. Ein Drahtseil überspannt einen Graben von 30 m Breite bei einem Höhenunterschied von 24 m. Das durchhängende Seil hat ungefähr die Form einer Parabel. Im oberen Stützpunkt (B) besitzt es eine Neigung von 45°.

    1. Lege den Koordinatenursprung in den unteren Stützpunkt (A) und ermittle die Gleichung der Parabel (quadratische Funktion).
    2. Wie groß ist die Neigung des Seils im unteren Stützpunkt?
    3. In welchem Punkt der Kurve ist die Tangente parallel zur Strecke AB? Ermittle die Gleichung der Tangente in diesem Punkt und den Durchhang f des Seil (d.h. den vertikalen Abstand zwischen der Tangente und der Strecke AB).

  2. Ein Körper wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 unter dem Winkel α schräg nach oben geworfen. Die Wurfbahn kann durch die Gleichungen

    x = v0 cos(α)·t
    y = v0 sin(α)·t - g/2·t²
    beschrieben werden (g: Erdbeschleunigung; der Luftwiderstand wird dabei vernachlässigt).
    1. Rechne mit den Werten v0 = 50 m/s, α = 36,87° (cos(α)= 4/5, sin(α)= 3/5), g = 10 m/s².
      Ermittle die Gleichung der Wurfbahn druch Elimination von t, berechne die Wurfweite und die Koordinaten des höchsten Bahnpunktes.
    2. Zeige, dass die allgemeine Gleichung der Wurfparabel lautet: y = tan(α)·x - g/(2v0²cos²(α))·x²

  3. Eine Eisenbahnkurve wird durch einen Kreisbogen vom Radius r gebildet. Damit keine plötzlichen Fliehkräfte auftreten, schaltet man zwischen Gerade und Kreisbogen eine "Übergangskurve". Diese kann durch die Funktion

    y = x³/6c
    dargestellt werden. Dabei gilt für den Endpunkt: x = c/r.
    1. Es sei c = 12000, r = 200 m.
      Gib die Gleichung der Kurve an und berechne die Koordinaten des Endpunkts.
    2. Ermittle die Gleichung der Tangente im Endpunkt und die Richtungsänderung, d.h. den Winkel zwischen Tangente und x-Achse.

  4. Ein waagrechter Stab der Länge l wird am linken Ende eingespannt. Wenn am anderen Ende eine Last angehängt wird, senkt es sich um den Betrag f. Die Form des Stabes kann durch eine Funktion 3. Grades beschrieben werden, deren Graph im linken Endpunkt einen Hochpunkt und im rechten Endpunkt einen Wendepunkt besitzt.

    1. Lege den Koordinatenursprung in den linken Endpunkt des Stabs und rechne mit dem Werten l = 10, f = 1. Ermittle die Gleichung der Kurve und die Neigung im rechten Endpunkt.
    2. Zeige, dass die allgemeine Gleichung der elastischen Linie lautet:
      y = f/2(x³/3 - 3x²/l²)

  5. Ein waagrechter Balken der Länge 2l liegt mit seinen Enden frei auf. Wenn er gleichmäßig belastet wird, biegt er sich in der Mitte um den Betrag f durch. Die Form des Balkens kann durch eine Funktion 4. Grades beschrieben werden, deren Graph in der Mitte einen Tiefpunkt und in den Endpunkten Wendepunkte hat.

    1. Lege den Koordinatenursprung in den tiefsten Punkt der Kurve und rechne mit den Werten 2l = 20, f = 0,5. Ermittle die Gleichung der Kurve und die Neigung in den Endpunkten.
      (Die Kurve ist symmetrisch!)
    2. Zeige, dass die allgemeine Gleichung der elastischen Linie lautet:
      y = f/5(6x²/l² - x4/l4)

    6. Ergebnisse