Einführung
Diese Seite gibt keine umfassende Einführung in Determinanten, sondern zielt auf Schüler ab. Daher beschränke ich mich weitgehend auf 2x2- und 3x3-Determinanten, so wie sie in der analytischen Geometrie auftauchen.
2x2 - Determinanten
- Vertauscht man die Zeilen mit ihren Spalten (d.h. man spiegelt die Matrix an der Hauptdiagonalen), so bleibt der Wert gleich.
- Beim Vertauschen der beiden Zeilen (Spalten) ändert die Determinante das Vorzeichen.
- Werden alle Elemente einer Zeile (Spalte) mit einer reellen Zahl a multipliziert, so multipliziert sich die Determinante ebenfalls a.
- Wenn (mindestens) eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist, besitzt die Determinante den Wert null:
- Alle Elemente einer Zeile (Spalte) sind null.
- Beide Zeilen (Spalten) stimmen überein.
- Die beiden Zeilen (Spalten) sind einander proportional (d.h. sind linear abhängig).
- Der Wert einer 2-reihigen Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte) addiert.
- Die Determinante einer 2-reihigen Dreiecksmatrix A hat den Wert det(A) = a11·a22.
nxn - Determinanten
Es werden nur die ergänzenden Eigenschaften im Vergleich zu einer 2x2-Determinante aufgelistet.
- Wenn (mindestens) eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist, besitzt die Determinante den Wert null:
- Alle Elemente einer Zeile (Spalte) sind null.
- Zwei Zeilen (Spalten) stimmen überein.
- Zwei Zeilen (Spalten) sind einander proportional (d.h. ihre Elemente stehen in einem festen Zahlenverhältnis zueinander).
- Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte) addiert.
- Wenn eine Zeile (Spalte) als Linearkombination der übrigen Zeilen (Spalten) darstellbar ist, hat die Determinante den Wert null.
Formelsammlung
Determinanten werden wie folgt berechnet:
- Ist A vom Format (2,2), dann ist det(A) = a11 · a22 - a21 · a12
- Ist A vom Format (3,3), dann ist
det(A) = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a31·a22·a13 - a32·a23·a11 - a33·a21·a12
Merken lässt sich das einfacher nach er Regel von Sarrus:
Die Regel von Sarrus gilt aussschließlich für 3x3-Determinanten! - Ist A vom Format (n,n), dann ist det(A) =
- Entwicklung nach der i-ten Zeile
- Entwicklung nach der j-ten Spalte
Rechner
Da in der Schule ausschließlich 2x2 und 3x3 Matrizen vorkommen, beschränke ich mich darauf.
2 x 2 Determinante
3 x 3 Determinante
Beispiele
Beispiel 1
Aufgabe
Berechnung der Determinante der Matrix A= nach der Entwicklungsformel.
Lösung
det(A) = 1·(-1)2·det=1·1·(3·5 - 0·(-4))=1·1·15=15
Links
- Arndt Brünner
Rechner für allgemeine Determinanten.