Bruchrechnung - Einleitung

Helga soll für ihre Geburtstagsfeier einkaufen gehen und sitzt nun mit ihrer Mutter am Esstisch und schreibt einen Einkaufszettel:

Mutter:
Wie viele Kinder möchtest du denn einladen, Helga?
 
Helga:
Lass mich überlegen ... Melanie, Juliane, Ann-Christin, Hans, Torsten, ... 11. Wir werden also 12 Kinder sein.
 
Mutter:
In Ordnung. Du hattest ja bereits gesagt, dass du um 14.00 Uhr anfangen möchtest und die Party nach dem Abendessen zu Ende sein soll. D.h. wir müssen Kuchen kaufen und etwas für das Abendbrot.

Wir sollten uns zunächst überlegen, wie viele Getränke wir kaufen müssen.
 
Helga:
Jeder wird wohl ein Glas zum Kuchen, während der Spiele und beim Abendessen trinken. Das macht 3 Gläser. Wie viel passt in ein Glas?
 
Mutter:
Man kann 1 Flasche auf 4 aufteilen. Mit anderen Worten in jedes Glas passt
ein Viertel  ein Drittel  ein Achtel
des gesamten Flascheninhalts.
 
Helga:
Wenn jeder 3 Gläser Saft trinkt, ergibt das für jeden also ingesamt
ein Viertel  drei Viertel  zwei Drittel
eines gesamten Flascheninhalts.
 

Brüche sind aus unserem Alltag nicht mehr wegzudenken: ein Viertel, ein Drittel, ein Achtel, ein Halb(es), drei Viertel. All dies sind Brüche die tagaus tagein benutzt werden. Um mit Brüchen später leichter rechnen zu können, werden diese in einer besonderen Art und Weise aufgeschrieben:

Definition des Bruchs
burchdefinition

Ein Bruch macht nur Sinn, wenn er auf etwas bezogen wird. Sonst würde nur jemand sagen: "Ein Drittel!". Diese Aussage ist sinnlos, da nicht mitgeteilt wurde von was ein Drittel genommen werden soll. Sinnvolle Aussagen sind dagegen:

     "Ein Drittel von einem Liter Limo",
     "eine Viertel Stunde",
     "ein halber Kilometer".

All diese Größen wurden also zunächst in gleichgroße Stücke unterteilt und eines dieser Stücke wurde genommen. Als Bruch geschrieben ergäbe sich: 
		 1   1   1   1   1   1
		 -   -   -   -   -   - ...
		 2   3   4   5   6   7
Somit kommt bei einem Bruch dem Nenner die größte Bedeutung zu. Er gibt an, in wie viele gleichgroße Teile ein Ganzes geteilt wird.

Geht man beispielsweise in eine Konditorei, um für die ganze Familie Kuchen zu kaufen, sagt man dem Verkäufer die Anzahl der Stücke: "6 Stücke Kuchen bitte."

Normalerweise schneiden Konditoren ihre Kuche in 12 Stücke, d.h. jedes Stück entspricht
ein Viertel  Zwei Achtel  ein Zwölftel
des ganzen Kuchens. Wählt man 6 Stücke, so kauft man
drei Sechstel  sechs Zwölftel  Dreiviertel
Kuchen.

Mutter:
Was meinst Du Helga? Wie Viele Stücke Kuchen werden wir brauchen?
 
Helga:
Die Jungs essen bestimmt 2 Stücke. Es sind 5 Jungs und und mit mir 7 Mädchen, das sind dann
17 Stücke  24 Stücke  12 Stücke
 
Mutter:
Was für Kuchen sollen wir kaufen?
 
Helga:
Da ich Geburtag habe, wünsche ich mir Apfelkuchen.
 
Mutter:
Wie viele Kuchen müssen wir dann backen, wenn man aus jedem Kuchen 12 Stücke bekommt?
 
Helga:

1 Kuchen  2 Kuchen  3 Kuchen
 

Stellt man die Anzahl der Stücke, also die Gesamtmenge des Kuchens den Helga braucht als Bruch dar, so schreibt man: 
		  1   2   3   4   5     12     15  16  17
		 --  --  --  --  -- ... -- ... --  --  --
		 12  12  12  12  12     12     12  12  12
Da 12 Stücke zusammen eine Kuchen ergeben schreibt man kürzer: 
		 12                   24   13   5
		 -- = 1 oder auch 1 = -- = -- = - = ....
		 12                   24   13   5
Man unterschdeidet insgesamt folgende Brucharten:

Definition: Namen von Brucharten

 
NameDefinitionBeispiel
Echte Brüche Zähler < Nenner 
  1   	5    127    56
  -   	-    ---    --
  5   	7    459    79
Stammbrüche Zähler = 1 
  1   	1     1      1
  -   	-    ---    --
  5   	7    459    79
Unechte Brüche   Zähler > Nenner 
  6   	9   1227    99
  -   	-   ----    --
  5   	7    459    79
Scheinbrüche Zähler = n · Nenner
n ∈ N		 
  10   49    125    24
  --   --    ---    --
   5    7     25     8

Helga hat zusammen mit ihrer Mutter festgestellt, dass Sie 17/12 Kuchen braucht. Dies entsprach 17 Stücken, wobei jedes Stück so groß ist wie ein 1/12 Kuchen. Stellt man sich 17/12 als Kuchen vor so sind dies 1 = 12/12 Kuchen und weitere 5 Stücke, also5/12. Hierfür gibt es eine eigene Schreibweise:

Definition: Gemischte Brüche

Ist bei einem Bruch der Zähler größer als der Nenner, so kann man ihn als gemischten Bruch schreiben: 
		  1       1   8   1
		4 - = 4 + - = - + - =
		  2       2   2   2
		    
		      9
		    = -
		      2


Helga:
Weißt du noch, wie im letzten Jahr Jürgen und Torsten um die Wette gegessen haben? Torsten hatte ein Stück mehr als Jürgen gegessen. Er selbst hatte 5 und Jürgen 4.
 
Mutter:
Aber die Stücke waren unterschiedlich groß. Torsten hatte Apfelkuchen gegessen und Jürgen Käsekuchen. Den Apfelkuchen konnte ich nur in 12 Stücke teilen, da sonst die Apfelstückchen rausgefallen wären und den Käsekuchen hatte ich in 16 Stücke geteilt.
 
Helga:
Das bedeutet doch das Torsten
5 / 12  4 / 12  12 / 5

und Jürgen
16 / 4  5 / 12  4 / 16

gegessen hatten. Aber wer hatte mehr gegessen?
 

Um bei zwei Brüchen sagen zu können, welcher größer ist, kann man sie auf einen Zahlenstrahl auftragen. Der Bruch, der weiter rechts liegt, ist der größere der beiden.

zahlenstrahl


Wie am Zahlenstrahl zu erkennen ist, lassen sich nur Brüche mit gleichem Nenner vergleichen, da nur dann die Kuchenstücke gleichgroß sind. Habe ich, wie in unserem Beispiel Brüche mit unterschiedlichen Nennern, so forme ich diese in gleichwertige Brüche um.